有关向量的知识点

1.向量的知识点

一、向量知识点归纳 1.与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量,数量是只有大小的量(称标量),而向量既有大小又有方向;数量可以比较大小,而向量不能比较大小,只有它的模才能比较大小.记号“ > ”错了,而| |>| |才有意义. ⑵有些向量与起点有关,有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性(大小和方向),故我们只研究与起点无关的向量(既自由向量).当遇到与起点有关向量时,可平移向量. ⑶平行向量(既共线向量)不一定相等,但相等向量一定是平行向量,既向量平行是向量相等的必要条件. ⑷单位向量是模为1的向量,其坐标表示为( ),其中 、满足 =1(可用(cos ,sin )(0≤ ≤2π)表示).特别: 表示与 同向的单位向量。

例如:向量 所在直线过 的内心(是 的角平分线所在直线);例1、O是平面上一个定点,A、B、C不共线,P满足 则点P的轨迹一定通过三角形的内心。 (变式)已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→| +AC→|AC→| )。

2.向量知识点有什么,亲们

有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,以A为起点,B为终点的有向线段记作或AB;向量的模:有向线段AB的长度叫做向量的模,记作|AB|;零向量:长度等于0的向量叫做零向量,记作或0。

(注意粗体格式,实数“0”和向量“0”是有区别的,书写时要在实数“0”上加箭头,以免混淆);相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;平行向量(共线向量):两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量,零向量与任意向量平行,即0//a;单位向量:模等于1个单位长度的向量叫做单位向量,通常用e表示,平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。 相反向量:与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。

[1]3表示方法编辑几何表示具有方向的线段叫做有向线段,我们以A为起点、B为终点的有向线段记作,则向量可以相应地记作。 但是,区别于有向线段,在一般的数学研究中,向量是可以平移的。

[2]坐标表示在直角坐标系内,我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得:向量的坐标表示a=xi yj,我们把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标,记作:a=(x,y)。

其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,上式叫做向量的坐标表示。在平面直角坐标系内,每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。

根据定义,任取平面上两点A(x1,y1),B(x2,y2),则向量AB=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。 [2]书写方法印刷体:只用小写字母表示时,采用加粗黑体;用首尾点大写字母表示时,需要在字母上加箭头,如;手写体:均需在字母上加箭头表示,如、。

4运算性质编辑向量同数量一样,也可以进行运算。向量可以参与多种运算过程,包括线性运算(加法、减法和数乘)、数量积、向量积与混合积等。

下面介绍运算性质时,将统一作如下规定:任取平面上两点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)。 加法向量加法的三角形法则已知向量AB、BC,再作向量AC,则向量AC叫做AB、BC的和,记作AB BC,即有:AB BC=AC。

用坐标表示时,显然有:AB BC=(x2-x1,y2-y1) (x3-x2,y3-y2)=(x2-x1 x3-x2,y2-y1 y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。 这就是说,两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差三角形法则:AB BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则,简记为:首尾相连、连接首尾、指向终点。

四边形法则:已知两个从同一点A出发的两个向量AC、AB,以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB,则以A为起点的对角线AD就是向量向量加法的四边形法则AC、AB的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则,简记为:共起点 对角连。 对于零向量和任意向量a,有:0 a=a 0=a。

向量的加法满足所有的加法运算定律,如:交换律、结合律。(本段文字资料整理自[2],图片为原始资料)减法AB-AC=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则,简记为:共起点、连终点、方向指向被减向量。

-(-a)=a;a (-a)=(-a) a=0;a-b=a (-b)。[2]数乘实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa。

当λ>0时,λa的方向和a的方向相同,当λ。

3.谁能教教我有关向量的知识

向量 在初中课改教材初三课本中学习 高一必修4里学到[编辑本段]数量的定义 数学中,把只有大小但没有方向的量叫做数量(或纯量),物理中常称为标量。

[编辑本段]向量的定义 数学中,既有大小又有方向的量叫做向量(亦称矢(shi 3声)量)。 注:在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组,称为n维向量。

α=(a1,a2,…,an) 称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量。 ("a1"的"1"为a的下标,"ai"的"i"为a的下标,其他类推)。

[编辑本段]向量的表示 1、代数表示:一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示,手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。 2、几何表示:向量可以用有向线段来表示。

有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向。(若规定线段AB的端点A为起点,B为终点,则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。

这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。) 3、坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底。

a为平面直角坐标系内的任意向量,以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理知,有且只有一对实数(x,y),使得 a=向量OP=xi+yj,因此把实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y)。

这就是向量a的坐标表示。其中(x,y)就是点P的坐标。

向量OP称为点P的位置向量。[编辑本段]向量的模和向量的数量 向量的大小,也就是向量的长度(或称模)。

向量a的模记作|a|。 注: 1、向量的模是非负实数,是可以比较大小的。

2、因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。

例如,“向量AB>向量CD”是没有意义的。[编辑本段]特殊的向量单位向量 长度为单位1的向量,叫做单位向量.与向量a同向且长度为单位1的向量,叫做a方向上的单位向量,记作a0,a0=a/|a|。

零向量 长度为0的向量叫做零向量,记作0.零向量的始点和终点重合,所以零向量没有确定的方向,或说零向量的方向是任意的。相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等,记作a=b. 规定:所有的零向量都相等. 当用有向线段表示向量时,起点可以任意选取。

任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.同向且等长的有向线段都表示同一向量。自由向量 始点不固定的向量,它可以任意的平行移动,而且移动后的向量仍然代表原来的向量。

在自由向量的意义下,相等的向量都看作是同一个向量。 数学中只研究自由向量。

滑动向量 沿着直线作用的向量称为滑动向量。固定向量 作用于一点的向量称为固定向量(亦称胶着向量)。

位置向量 对于坐标平面内的任意一点P,我们把向量OP叫做点P的位置向量,记作:向量P。[编辑本段]相反向量 与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量,记作-a。

有 -(-a)=a; 零向量的相反向量仍是零向量。平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行(或共线)向量.向量a、b平行(共线),记作a‖b. 零向量长度为零,是起点与终点重合的向量,其方向不确定,我们规定:零向量与任一向量平行. 平行于同一直线的一组向量是共线向量。

共面向量 平行于同一平面的三个(或多于三个)向量叫做共面向量。 空间中的向量有且只有一下两种位置关系:⑴共面;⑵不共面。

只有三个或三个以上向量才谈共面不共面。[编辑本段]向量的运算 设a=(x,y),b=(x',y')。

1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。

a+b=(x+x',y+y')。 a+0=0+a=a。

向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ>0时,λa与a同方向; 当λ 当λ=0时,λa=0,方向任意。 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。

注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ 当∣λ∣0)或反方向(λ 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。 向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。

② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。3、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·b。若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉;若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'。 向量的数量积的运算律 a·b=b·a(交换律); (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律); 。

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